렌즈의 결상 공식

[광학 기술 백서 #2]렌즈의 결상 공식

렌즈 결상 공식에서 가장 기본적인 식은?

  

  렌즈는 기본적으로 스넬의 법칙(Snell's Law)라는 굴절 법칙에 의해 공식이 유도됩니다. 

 

 

  스넬의 법칙은 고등학생이라면 알만한 간단한 공식입니다.

  하지만 스넬의 법칙에 쓰이는 sin 값은 렌즈 공식에서 좀더 간단히 표현하고자 테일러 공식을 통해 근사 되어 쓰입니다. 

 

 

  이 때 일반적인 경우에는 일차식만을 근사하여 사용하게 되고 이러한 근사값은 광축에 가까운 광선만이 일치하게 되어 근축광선의 공식이라고도 합니다.

  이 때 좀더 정밀한 렌즈를 제작하기 위해서는 3차항, 5차항 등의 고차항까지 고려를 해야 합니다.

아무튼 일반적인 렌즈의 결상 공식은 일차항만을 고려하게 되므로 스넬의 법칙은 다음과 같이 근사할 수 있습니다. 

 

 

그리고 이 식이 바로 렌즈 결상 공식의 가장 기본적인 식이 됩니다.

 

 

  위의 그림은 한 개의 구면을 가지고 있는 렌즈의 개략도입니다.

 

  렌즈면의 P점에 빛이 i의 입사각으로 들어오고 있습니다. 이 빛은 렌즈 표면에서 굴절을 하여 i’이라는 굴절각을 가지고 통과하였습니다.

 

  이때 입사각과 굴절각 i, i’를 각 α와 υ및 υ’로 표현을 하게 되면 다음과 같은 식을 얻게 됩니다.

 

 

  이 식을 근축 광선의 스넬 공식에 대입하게 되면

 

 

  이 렌즈의 한면에서 다른 면으로 빛이 들어갈 때 사용되는 전환공식은 다음과 같습니다.

 

 

  이 때 각각의 부호는 다음의 부호규약을 따르게 됩니다.

 

 1. 모든 입사광선은 왼편에서 오른편으로 진행

 

 2. 모든 거리와 높이는 정점 A를 원점으로 하는 오른손 좌표계 부호를 따른다.

 

 3. 각 υ 및 υ’은 광선을 광축방향으로 회전할 때 반시계 방향이면 –, 시계방향이면 + 이고, 각 α는 법선을 광축 방향으로 회전할 때 반시계 방향이면 –, 시계방향이면 + 이며, i 및 i’의 각은 광선을 법선방향으로 회전할 때 시계방향이면+, 반시계 방향이면 – 이다.

 

  이와 같은 렌즈의 결상 공식은 거의 대부분의 기본적인 계산에 사용되게 됩니다.

 

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필진 소개

박강환, Benjamin Park (앤비젼 제품 기획팀/광학 담당) 광학에 대한 무한 열정으로 제품을 넘어 고객의 솔루션을 만드는 Optic Specialist